写在前面

这是“我的 IB 课本使用心得”这个系列中的第2篇文章。这一系列涉及的 IB 科目是 DP 的物理、数学 AA、化学、历史、中文 A：文学，对应的课程等级和大纲版本（首次评估时间）如下：

这些都是我学习过的 IB DP 科目。在学习这些科目的过程中，每一科我都至少用过2种课本（或教辅资料）。

在这篇文章中，我将讨论数学课本。我将按照出版社列出课本，一边对比，一边说说这些课本各自的风格特色、它们在我心目中的优缺点，最后说说我对“如何使用课本”的一些想法。全都仅供参考呀。

太长不看版在本文结尾。

各类课本评测

我觉得优秀的数学课本和优秀的物理课本其实挺相似的，都是需要：

1. 好的讲解
2. 好的习题

那么，下面就说说我用过的数学课本。在 DP 这两年中，我用过2家出版社的，共3本书：

Haese 数学出版社

• 书名：Mathematics: Core Topics HL
• 版本：第1版
• 作者：Michael Haese, Mark Humphries, Chris Sangwin, Ngoc Vo
• ISBN：978-1-925489-58-3

如题，这本书包含了 AA 和 AI HL 共有的内容，有极少量的 AI 独有的内容，与 AA 无关。书中部分内容只是浅尝辄止，AA 课程中更深入的内容都在下面这本书中。

• 书名：Mathematics: Analysis and Approaches HL
• 版本：第1版
• 作者：Michael Haese, Mark Humphries, Chris Sangwin, Ngoc Vo
• ISBN：978-1-925489-59-0

如题，这本书包含了第一本书缺少的那些 AA HL 独有的内容。以上这两本书是一个系列，需要配套使用。

1. 结构

这套书把 AA HL 的大纲内容分割开来，一小部分放在第一册，剩下的这一大部分放在了第二册，造成很强的割裂感。例如，第一册对函数的变换浅尝辄止，没有涉及绝对值变换、平方变换、对勾函数等。一直到了第二册，才讲完了大纲里要求的所有变换。如果你一开始就很确定自己要学 AA HL、并没有想过 AI HL 的话，那 Haese 这套书的分割就真的没什么意义，而且有些莫名其妙了。但如果你在 DP 开始时还在 AA 和 AI HL 之间犹豫的话，这样的分割可能就会帮到你了。

这套书章节划分十分细致，它把大纲中的几乎每个小点都拿出来，放进了一个小节。最能体现这一点的是，这套书把逻辑函数（logistic functions）单拿出来，作为微分方程这一章下的一个小节。然而逻辑函数只是大纲在说明可分离变量的微分方程时，举出的一个例子……虽然深入学习一下逻辑函数并没有什么坏处，而且那的确深化了我对微分方程和部分分式（partial fractions）的理解，但有时这套书的重点的确有些让人摸不着头脑。

我个人感觉，这套书的章节真的好多，而且好细碎！比如微积分中的导数这一部分，这套书用了4、5章来讲。再比如第二册的第 12 章——向量，这套书把平面向量和空间向量分开讲了，但内容完全可以合并，因为平面向量不就是 z 坐标为零的空间向量吗？😂

2. 知识讲解

这套书中有很多内容并不在 IB 大纲中，例如检验函数连续性、可导性，再比如排列组合的“排列”中，有一部分元素重复的情况。使用这本书时，需要谨记一切以大纲要求为准。

讲解详细，但稍显生硬。其中让我最头疼的，就是在微分方程这一章中，对欧拉方法的讲解。一上来就直接说什么“每一步递归迭代都能在近似解曲线上找到新的一个点”，但读者根本不知道欧拉方法的具体操作，这时看到迭代，那不就直接懵了吗。

说实话，这套书的讲解风格有点像人教版高中数学课本（2007版），都经常是通过例子很快地引入概念，然后直接上公式，解题，虽然这本书的文字说明更多一些。这种风格也不是不好，然而 Haese 的证明通常没有人教版的细致，比如对乘法分配律扩展到向量点乘的证明，在这本书中是通过小练习来引导读者完成的。但书后答案里并没有证明过程。所以，虽然这本书也并不是完全不涉及证明，但如果你想看完整证明，那这就是个问题了。

大概是为了 IB 的“国际理解”，这套书加入了很多数学史的内容。虽然其实挺有意思的，我们也的确应该多少了解一下世界数学的发展，但这些内容都是用标准排版，和书里对知识点的讲解混在一起，而不是作为单独的板块，这就造成一种混乱感。这套书中有关 TOK 的内容就有单独板块，感觉就更清晰、对读者更友好。

这套书的电子版还为每道例题都配了语音加演示的分步讲解。虽然我没怎么用过这个“自我辅导”的功能，但你如果不喜欢自己看书、喜欢有人出声讲解，那么这应该会对你有帮助。

3. 习题

很多习题，而且应该都是原创的。每一小节后都有针对性的习题，每章结尾也有两套难度不同的综合复习题。但这些题没有模仿 IB 真题的题型风格，而且经常比 IB 真题有更少的分步引导，所以相对更难。不过学有余力时，看看不同的题型，对开拓思维也有帮助。

最新版的这套书附了三套针对 IB 考试 P1、P2、和 P3 的模拟题，还有一些额外的针对 P3 的习题。然而还是有一些问题：P1 和 P2 的题目依然比 IB 真题更难；P3 的每道题的内容似乎也比 IB 真题的内容更多，所以时间更紧。不过，在你刷 IB 真题复习之余，这些题可以作为额外的复习资料。因为真题有限，这套书中针对 P3 的模拟题尤其有用。

4. 其它资料

电子版很方便，还可以做笔记、用线上的工具，比如数据分析工具、画图工具。我非常喜欢这本书配的线上模拟器，尤其是引入二次函数时，用来拓展知识的圆锥曲线模拟器。在电脑上看立体圆锥被平面切割，真的比自己在纸上画、在脑子里想象要有帮助，也比手工制作切割要方便太多了啊。

剑桥大学出版社

• 书名：Mathematics for the IB Diploma: Higher Level
• 版本：2012版
• 作者：Paul Fannon, Vesna Kadelburg, Ben Woolley, Stephen Ward
• ISBN：978-1-107-66173-8

1. 结构

这本书是为2014年首次评估的数学 HL 旧大纲而写的，剑桥没有给新大纲新写教材，而是做了一个表格，标出了旧大纲课本中的内容与新大纲的要求间的对应关系。

虽然这本书没有针对新大纲进行章节划分，但每章都几乎对应新大纲中每组知识点的内容。章节内容也比较清晰，个人感觉比 Haese 的更清晰，因为这本书没有像 Haese 一样强行分出两本书、造成内容割裂。

而且，这本书没有那些不必要的细碎内容，上面提到了平面和立体向量这个例子，这里举另一个例子：这本书没有像 Haese 一样把“不用向量的立体几何”和“用向量的立体几何”分开，对 AA HL 来说， Haese 那样的划分完全没有必要。而且这本书有大类划分：代数、方程与函数、几何、微积分、统计与概率，Haese 就没有。

这本书每章结尾还会总结整章的知识点，不过我没怎么用过它的总结，因为我个人认为看别人的总结对自己的帮助并不大。但这样的总结的确是 Haese 课本欠缺的。

2. 知识讲解

因为这本书原本是针对旧大纲的，在学习新大纲时，里面难免有超纲或者缺少的内容。注意新大纲中很多微积分部分的内容都来自旧大纲的微积分选修章节，而这本书的选修章节都只收录在书后 CD 上的电子课本中。

这本书的知识讲解通常很自然，个人感觉这一点上比 Haese 要好。比如在微分方程这一章中，对欧拉方法的讲解。这本书是先画折线，先带着读者慢慢过了一遍欧拉方法的步骤，形象地说明这一知识点，再用严谨的数学语言进行总结。至少对我来说，这样更容易接受新知识。

这本书有一点让我感到很舒适，因为它有很多配套的证明，既有填空版、也有完整证明。而且这本书有一些 Haese 课本里没有的证明内容，比如二项分布 $X\sim{B(n,p)}$ 的方差公式 $Var(X)=np(1-p)$ ，再比如微分的乘积法则。不过这些证明都收录在电子版课本中。

3. 习题

习题足够。总体来说，我觉得这本书的习题虽然并不完美，但比 Haese 的更适合备考。

每节后有小练习，小练习中有非 IB 风格的题用于熟悉概念，也有 IB 风格的题。每章后有综合练习，还有专门的习题章节来提供涉及多个单元知识的习题，这些习题包揽了 IB 的长、短两种简答题型；剑桥出版社的网站也有一些免费的章节测试，可以免费注册账号后获取；这些习题都符合 IB 真题风格，难度也与 IB 真题相似。

这本书还用绿、蓝、红等颜色标明了所有题目的难度、种类，也标明了题目对计算器的要求，这对我个人的复习刷题非常有帮助，而这是 Haese 没有的。这本书的电子课本还配备了更多拓展练习（Extension worksheets），但不是 IB 真题风格的。

这本书没有像 Haese 一样配备完整的练习套卷和对应的评分标准，只有单个的题目，所以稍有不足。不过这不是大问题，可以通过刷真题套卷来弥补。

4. 其它资料

前面已经提到，这本书没有配套模拟题。但这本书对应的线上资源有更多章节测试，电子课本里也配备了许多额外的内容，比如一些结论的证明（填空版和完成版都有）、拓展练习（Extension worksheets）、辅助资料（Supplementary sheets）、自我探究资料（Self-discovery sheets）等。电子课本里还有预备知识（Prior learning）的题，我觉得比较有帮助，可以在开课前使用，为 DP 查缺补漏。

这本书还有一些缺点。它的电子书没有联网更新，所以不能及时自动纠正里面的错误。这本书的电子书也只是 PDF 的书而已，没有像 Haese 一样配备数学工具。

实际使用

因为本文章提到的这两本课本都没有完美覆盖 IB 大纲，我推荐把大纲作为第一参考。

我觉得最好的方法是这样：学习时先看大纲，然后结合起来看这两本书的讲解，优先看剑桥，再用 Haese 的习题和剑桥的非 IB 风格习题来快速熟悉概念，用剑桥的 IB 风格习题巩固，备考（主要在 IB DP 的最后阶段）则可用 Haese 的套卷和剑桥的 IB 风格习题。

如果两本书对一个主题都有讲解的话，我更喜欢先看剑桥的讲解，因为更自然；然后我会看 Haese 的讲解来查缺补漏。但这只是个人喜好，而且新大纲里有些内容只在 Haese 的课本里出现，比如线性代数下的增广矩阵（Augmented matrix）。DP 这两年期间，在学习某些单元时，我也只看了 Haese 的讲解而没有看剑桥的，然而并没有遇到困难或者出现很大的问题。

很遗憾，因为我没有长期用过牛津大学出版社的数学 AA 课本，所以在这里无法评价。不过它可能更好地覆盖了 IB 大纲。

结语

我在这篇文章里，聊了聊2本针对2021年 IB DP 大纲的数学 AA 课本，它们分别来自 Haese 和剑桥这2家出版社。我分别列出了它们的特点，说了说我心中它们各自的优缺点，同时尽量配上了具体的例子，并且在最后，结合我的学习经历，给出了使用课本的建议。这篇博文没有涉及同样比较主流的牛津的课本，是一个遗憾。

这一系列的文章还在继续更新中，我会把新文章的链接贴在这篇博文最开始的表格里，大家如果感兴趣就可以去看看呀。

本文没有涉及一些具体的数学学习方法，例如如何管理错题，也没有涉及针对 IB 数学的一些注意事项，例如考试技巧，我在以后的博文中提及。查看更多关于 IB DP 数学 AA 课程、或是关于数学的博文，还请使用本博客边栏中的“标签”功能。

感谢读到这里的你，我并不是专业的老师，只是稍有心得的 IB 学生，如果有不同的见解，欢迎讨论！（请在博客的“关于”一栏末尾寻找联系方式。）我真的很好奇其他人的想法！如果你用过我提到的这些课本、牛津的课本，或者其他课本的话，欢迎你来分享讨论呀！

太长不看版

课本的主要特点：

推荐这样使用课本：

1. 参考 IB 大纲；
2. 结合看两本书的讲解，而且当它们都有对某一章节的讲解时，优先看剑桥；
3. 熟悉概念： Haese 的章节后习题、剑桥的非 IB 风格习题；
4. 备考：剑桥的 IB 风格习题、 Haese 的套卷。